Paul Cohen: el genio que, al responder a una de las más importantes preguntas de la matemática, dio con el revolucionario descubrimiento de la existencia de dos matemáticas internamente consistentes.
En 1900, David Hilbert, matemático alemán, expuso 10 problemas en la Sorbona, durante el Congreso Internacional de la Matemática. Sucesivamente se publicaron el total de los 23 problemas en el “Buletin de la Sociedad Matemática Americana”. Estos problemas, con el tiempo, se denominarían como los legendarios “Problemas de Hilbert”, e influenciarían inmensamente la matemática del siglo 20.
A lo largo de los años algunos fueron resueltos, y muchos aún no lo son. Los problemas, que abarcan diferentes áreas de la ciencia, estimularon globalmente mentes brillantes para ahondar en los misterios de la matemática, y en particular, en los años 60, la de un joven Paul Cohen.
Cohen nació en New Jersey, estudió en el Brooklyn College, y completó su maestría en la Universidad de Chicago. Se interesó en los problemas de Hilbert, y decidió dedicarse a la resolución del problema número 1: la hipótesis del continuo.
El problema número 1 nace de los estudios de Greog Cantor, matemático y filósofo nacido en Rusia y crecido en Alemania, famoso principalmente por su teoría de los conjuntos, con la cual logró demostrar que los infinitos pueden tener diferentes dimensiones.
El concepto del infinito es difícil de concebir, y es aún más difícil imaginar que un infinito pueda ser más grande que otro, pero, utilizando la teoría nombrada, Cantor compara uno a uno los elementos que conforman el infinito de los números enteros con los que integran los números decimales.
Los números enteros, o naturales, son los números “contables”: 1, 2, 3 etc… Los decimales son los números reales, los números con la coma: 0.00001, 0.123, 2234.999, etc… Siguiendo el método de Cantor, tomamos el número 1 por ejemplo, y lo comparamos con el primer número decimal. ¿Pero, cuál es el primer número decimal? ¿0.1? 0.0001? ¿0.0000000001? Al solo intentar elegir el número decimal que se compara a el número 1 entero intuimos que no se trata de conjuntos que tienen el mismo orden de magnitud.
Una vez comprendido el concepto de infinitos de diferentes dimensiones, podemos entender la pregunta que propone y se propuso Hilbert: ¿Existe un infinito que tiene una dimensión más pequeña que el infinito de los decimales y más grande que el de los números enteros?
Pasos fundamentales para la resolución del problema, fueron ejecutados por Ernst Zermelo y Abraham Fraenkel en 1922, cuando desarrollaron la forma standard de la teoría axiomática de conjuntos (teoría de conjuntos Zermelo-Fraenkel), utilizada más tarde por Kurt Godel, uno de los fundadores de la lógica matemática, cuando este último, logró demostrar que la hipótesis del continuo no puede ser desmentida por la teoría Zermelo-Fraenkel.
Es aquí que Cohen utiliza una técnica nunca antes vista, que él denomina “forzar” y llega a la conclusión que la hipótesis no puede ser demostrada ni desmentida por la teoría ZF. El mundo académico matemático quedó dudoso ante la demostración, pues se trataba de una técnica sin precedentes, el único que podía darle valía al método de Cohen es el mismo Godel, quien expresó su satisfacción en relación con la buena nueva escribiéndole: “Tu prueba es la mejor posible”.
La demostración de Cohen, además de ofrecer una respuesta al problema de Hilbert, comprueba la existencia de dos mundos matemáticos: en uno aplica la hipótesis del continuo y en el otro no.
Referencias http://bbc.in/3k0jwel http://stanford.io/3bfhCCz http://stanford.io/3uacjwP
